Question

已知函数f(x)=lnx,g(x)=ax²+bx,a≠0.

(1)若b=2,且h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间,求a的取值范围;

(2)设函数f(x)的图象C₁与函数g(x)的图象C₂交于点P、Q,过线段PQ的中点作x轴的垂线,分别交C₁、C₂于点M、N,证明C₁在点M处的切线与C₂在点N处的切线不平行.

Answer 1

解:(1)(-1,0)∪(0,+∞).

(2)设点P,Q的坐标分别为(x₁,y₁),(x₂,y₂)(0＜x₁＜x₂),则点M,N的横坐标为x=,

C₁在点M处的切线斜率为k₁==,

C₂在点N处的切线斜率为k₂=ax+b=+b,

假设C₁在点M处的切线与C₂在点N处的切线平行,

则k₁=k₂,即=+b,

则=(x₂²-x₁²)+b(x₂-x₁)=(x₂²+bx₂)-(x₁²+bx₁)=y₂-y₁=lnx₂-lnx₁,

所以ln=.

设t=,则lnt=(t＞1).①

令r(t)=lnt-,t＞1,则r′(t)=.

因为t＞1时,r′(t)＞0,所以r(t)在［1,+∞)上单调递增,故r(t)＞r(1)=0.

则lnt＞,这与①矛盾,所以假设不成立.

故C₁在点M处的切线与C₂在点N处的切线不平行.