Question

【题目】已知函数f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣2．

（1）若曲线f（x）=xlnx在x=1处的切线与函数g（x）=﹣x2+ax﹣2也相切，求实数a的值；

（2）求函数f（x）在上的最小值；

（3）证明：对任意的x∈（0，+∞），都有成立

Answer 1

【答案】（1）3或-1；（2）见解析；（2）见解析.

【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，计算的值，求出切线方程，再利用判别式为零即可的结果；（2）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间，从而求出的最小值即可；（3）设，求出的导数, 求出的最大值，得到恒成立，从而证明结论即可.

试题解析：（1）f′（x）=lnx+x=lnx+1 ，

时， ， ，

故 在 处的切线方程是： ，

联立，

消去y得： ，

由题意得： ，

解得： 或 ；

（2）由（1）得： ，

x∈（0，）时， ， 递减，

x∈（，+∞）时， ，递增，

①0＜t＜t+≤，即0＜t≤﹣时，

f（x）min=f（t+）=（t+）ln（t+），

②0＜t＜＜t+，即﹣＜t＜时，

f（x）min=f（）=﹣；

③≤t＜t+，即 时， f（x）在递增，

；

综上，f（x）min=；

（3）证明：设m（x）=﹣，（x∈（0，+∞）），则m′（x）=，

时， ，递增，

时， ， 递减，

可得m（x）max=m（1）=﹣，当且仅当 时取到，

由（2）得 ，（ ）的最小值是﹣，

当且仅当x=时取到，

因此 时，f（x）min≥﹣≥m（x）max恒成立，

又两次最值不能同时取到，

故对任意 ，都有成立．

【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线、利用导数研究函数的单调性以及不等式证明问题，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点 出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.