题目内容
（2013•武汉模拟）过椭圆Γ：
+
=1（a＞b＞0）右焦点F2的直线交椭圆于A，B两点，F1为其左焦点，已知△AF1B的周长为8，椭圆的离心率为
．
（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；
（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆Γ恒有两个交点P，Q，且
⊥
？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| ||
| 2 |
（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；
（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆Γ恒有两个交点P，Q，且
| OP |
| OQ |
分析：（Ⅰ）由题意列关于a，c的方程组，求解方程组的a，c的值，由b2=a2-c2求得b的值，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）假设满足条件的圆存在，设出圆的方程，分直线PQ的斜率存在和不存在讨论，当直线PQ的斜率存在时，设其方程为y=kx+t，和椭圆方程联立后化为关于x的一元二次方程，利用根与系数关系求出P，Q两点横纵坐标的积，由
⊥
得其数量积等于0，代入坐标的乘积得到k和t的关系，再由圆心到直线的距离等于半径求出圆的半径，然后验证直线斜率不存在时成立．从而得到满足条件的圆存在．
（Ⅱ）假设满足条件的圆存在，设出圆的方程，分直线PQ的斜率存在和不存在讨论，当直线PQ的斜率存在时，设其方程为y=kx+t，和椭圆方程联立后化为关于x的一元二次方程，利用根与系数关系求出P，Q两点横纵坐标的积，由
| OP |
| OQ |
解答：解：（Ⅰ）由已知，得
，解得：
，
∴b2=a2-c2=4-3=1．
故椭圆Γ的方程为
+y2=1；
（Ⅱ）假设满足条件的圆存在，其方程为x2+y2=r2（0＜r＜1）．
当直线PQ的斜率存在时，设其方程为y=kx+t，
由
，得（1+4k2）x2+8ktx+4t2-4=0．
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则
x1+x2=-
，x1x2=
，①
∵
⊥
，
∴x1x2+y1y2=0，
又y1=kx1+t，y2=kx2+t，
∴x1x2+（kx1+t）（kx2+t）=0，
即（1+k2）x1x2+kt（x1+x2）+t2=0． ②
将①代入②，得
-
+t2=0，
即t2=
（1+k2）．
∵直线PQ与圆x2+y2=r2相切，
∴r=
=
=
∈（0，1），
∴存在圆x2+y2=
满足条件．
当直线PQ的斜率不存在时，易得x12=x22=
，
代入椭圆Γ的方程，得y12=y22=
，满足
⊥
．
综上所述，存在圆心在原点的圆x2+y2=
满足条件．
|
|
∴b2=a2-c2=4-3=1．
故椭圆Γ的方程为
| x2 |
| 4 |
（Ⅱ）假设满足条件的圆存在，其方程为x2+y2=r2（0＜r＜1）．
当直线PQ的斜率存在时，设其方程为y=kx+t，
由
|
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则
x1+x2=-
| 8kt |
| 1+4k2 |
| 4t2-4 |
| 1+4k2 |
∵
| OP |
| OQ |
∴x1x2+y1y2=0，
又y1=kx1+t，y2=kx2+t，
∴x1x2+（kx1+t）（kx2+t）=0，
即（1+k2）x1x2+kt（x1+x2）+t2=0． ②
将①代入②，得
| (1+k2)(4t2-4) |
| 1+4k2 |
| 8k2t2 |
| 1+4k2 |
即t2=
| 4 |
| 5 |
∵直线PQ与圆x2+y2=r2相切，
∴r=
| |t| | ||
|
| ||||
|
2
| ||
| 5 |
∴存在圆x2+y2=
| 4 |
| 5 |
当直线PQ的斜率不存在时，易得x12=x22=
| 4 |
| 5 |
代入椭圆Γ的方程，得y12=y22=
| 4 |
| 5 |
| OP |
| OQ |
综上所述，存在圆心在原点的圆x2+y2=
| 4 |
| 5 |
点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线和圆锥曲线的关系，体现了分类讨论的数学思想方法，涉及直线和圆锥曲线的关系问题，常采用把直线和圆锥曲线联立，利用根与系数的关系求解，考查了计算能力，属高考试卷中的压轴题．
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