题目内容

函数y=f（x）（x∈[-2，2]）的图象如图所示，则f（x）+f（-x）=________．

0
分析：先根据函数的图象的对称性，得出此函数的奇偶性，得出f（x）与f（-x）的关系，即可解决问题．
解答：由图象可知f（x）为定义域上的奇函数．
∴f（x）+f（-x）=f（x）-f（x）=0．
故答案为：0
点评：本题考查的知识点是奇偶函数图象的对称性，其中根据函数的图象，得出函数的奇偶性，是解答本题的关键．考查函数的对称性，宜从奇偶性入手研究．

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（2013•黄埔区一模）对于函数y=f（x）与常数a，b，若f（2x）=af（x）+b恒成立，则称（a，b）为函数f（x）的一个“P数对”；若f（2x）≥af（x）+b恒成立，则称（a，b）为函数f（x）的一个“类P数对”．设函数f（x）的定义域为R⁺，且f（1）=3．
（1）若（1，1）是f（x）的一个“P数对”，求f（2ⁿ）（n∈N*）；
（2）若（-2，0）是f（x）的一个“P数对”，且当x∈[1，2）时f（x）=k-|2x-3|，求f（x）在区间[1，2ⁿ）（n∈N*）上的最大值与最小值；
（3）若f（x）是增函数，且（2，-2）是f（x）的一个“类P数对”，试比较下列各组中两个式子的大小，并说明理由．
①f（2^-n）与2^-n+2（n∈N*）；
②f（x）与2x+2（x∈（0，1]）．

（选作题）定义在（-1，1）上的函数y=f（x）满足：对任意x，y∈（-1，1）都有f(x)+f(y)=f(

)．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明；
（2）如果当x∈（-1，0）时，有f（x）＞0，求证：f（x）在（-1，1）上是单调递减函数；
（3）在（2）的条件下解不等式：f(x+

（2011•顺义区二模）对于定义域分别为M，N的函数y=f（x），y=g（x），规定：
函数h(x)=

f(x)•g(x)，当x∈M且x∈N

f(x)，当x∈M且x∉N

g(x)，当x∉M且x∈N

（1）若函数f(x)=

，g(x)=x2+2x+2，x∈R，求函数h（x）的取值集合；
（2）若f（x）=1，g（x）=x²+2x+2，设b_n为曲线y=h（x）在点（a_n，h（a_n））处切线的斜率；而{a_n}是等差数列，公差为1（n∈N^*），点P₁为直线l：2x-y+2=0与x轴的交点，点P_n的坐标为（a_n，b_n）．求证：

；
（3）若g（x）=f（x+α），其中α是常数，且α∈[0，2π]，请问，是否存在一个定义域为R的函数y=f（x）及一个α的值，使得h（x）=cosx，若存在请写出一个f（x）的解析式及一个α的值，若不存在请说明理由．

（2012•浦东新区二模）已知函数y=f（x），x∈D，如果对于定义域D内的任意实数x，对于给定的非零常数m，总存在非零常数T，恒有f（x+T）＞m•f（x）成立，则称函数f（x）是D上的m级类增周期函数，周期为T．若恒有f（x+T）=m•f（x）成立，则称函数f（x）是D上的m级类周期函数，周期为T．
（1）试判断函数f（x）=log

(x-1)是否为（3，+∞）上的周期为1的2级类增周期函数？并说明理由；
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（2009•卢湾区一模）将奇函数的图象关于原点（即（0，0））对称这一性质进行拓广，有下面的结论：
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利用上述结论完成下列各题：
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的图象是否关于某一点成中心对称？若是，求出对称中心的坐标并说明理由；若不是，请说明理由．
（3）若函数f(x)=(x-

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))成中心对称，求t的值．