Question

 (2009北京西城高三抽样测试,理18）已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁＝1,数列{a_n+S_n}是公差为2的等差数列.

(1)求a₂,a₃;

(2)证明数列{a_n-2}为等比数列;

(3)求数列{na_n}的前n项和T_n.

Answer 1

(1)解:∵数列{a_n+S_n}是公差为2的等差数列,

∴(a_n+1+S_n+1)-(a_n+S_n)＝2,

即.

∵a₁＝1,∴.

(2)证明:由题意,得a₁-2＝-1,

∵,

∴{a_n-2}是首项为-1,公比为的等比数列.

(3)解:由(2)得a_n-2＝-()^n-1,

∴na_n＝2n-n·()^n-1.

∴T_n＝(2-1)+(4-2·)+［6-3·()²］+…+［2n-n·()^n-1］.

∴T_n＝(2+4+6+…+2n)-［1+2·+3·()²+…+n·()^n-1］.

设,①

∴.②

由①-②,得,

∴.

∴A_n＝4-(n+2)·()^n-1.

∴.