Question

已知函数f（x）=a^|x|+2a^x（a＞1），x∈[-2，+∞），若f（x）的最小值与a无关，求a的取值范围．

Answer 1

当x∈[0，+∞）时，f（x）=a^x+2a^x=3a^x．
∵a＞1，∴f（x）_min=f（0）=3．
当x∈[-2，0）时，f（x）=

1

ax

+2a^x．
∵a＞1，∴

1

a2

≤a^x＜1．
∵

1

ax

+2a^x≥2

2

，当且仅当

1

ax

=2a^x，即a^x=

2

2

时等号成立．
∴若

1

a2

＞

2

2

，即1＜a＜

4	2

，则f（x）_min=f（

1

a2

）=a²+

2

a2

，
若

1

a2

≤

2

2

，即a≥

4	2

，则f（x）_min=2

2

．
又∵a²+

2

a2

＜3（否则，由a²+

2

a2

≥3，得（a²-1）（a²-2）＞0，又a＞1，所以a²＞2，即a＞

2

，
即a＞

2

，这与1＜a＜

4	2

矛盾），
∴当1＜a＜

4	2

时，f（x）_min=a²+

2

a2

；
当a≥

4	2

时，f（x）_min=2

2

．
故当f（x）的最小值与a无关时，a的取值范围是[

4	2

，+∞）．