Question

如图，四边形ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，M为PA的中点．
（Ⅰ）求证：PC∥平面BDM；
（Ⅱ）若PA=AC=

2

，BD=2

3

，求直线BM与平面PAC所成的角．

Answer 1

分析：（1）要证明线面平行，关键是在平面内找到一条可能与已知直线平行的直线，观察到平面BDM中三条已知直线与PC都不平行，故我们要考虑在平面BDM中做一条与PC可能平行直线辅助线，然后再进行证明．
（2）要求直线BM与平面PAC所成的角，我们要先根据线面夹角的定义，找出直线BM在平面PAC上的射影，然后解三角形即可求解．

解答：解：（Ⅰ）设AC与BD的交点为O，连接OM．
因为ABCD是菱形，则O为AC中点．
又M为PA的中点，所以OM∥PC．
因为OM在平面BDM内，所以PC∥平面BDM．

（Ⅱ）因为ABCD是菱形，则BD⊥AC．
又PA⊥平面ABCD，则PA⊥BD．
所以BD⊥平面PAC．
所以∠BMO是直线BM与平面PAC所成的角．
因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AC．在Rt△PAC中，
因为PA=AC=

2

，则PC=2．
又点M与点O分别是PA与AC的中点，则MO=

1

2

PC=1．
又BO=

1

2

BD=

3

，在Rt△BOM中，
tan∠BMO=

BO

MO

=

3

，所以∠BMO=60°．
故直线BM与平面PAC所成的角是60°．

点评：判断或证明线面平行的常用方法有：①利用线面平行的定义（无公共点）；②利用线面平行的判定定理（a?α，b?α，a∥b?a∥α）；③利用面面平行的性质定理（α∥β，a?α?a∥β）；④利用面面平行的性质（α∥β，a?α，a?，a∥α??a∥β）． 求直线和平面所成的角时，应注意的问题是：（1）先判断直线和平面的位置关系．（2）当直线和平面斜交时，常用以下步骤：①构造--作出或找到斜线与射影所成的角；②设定--论证所作或找到的角为所求的角；③计算--常用解三角形的方法求角；④结论--点明斜线和平面所成的角的值．