Question

已知集合M是满足下列两个条件的函数f（x）的全体：①f（x）在定义域上是单调函数；②在f（x）的定义域内存在闭区间[a，b]，使f（x）在[a，b]上的值域为．若函数，g（x）∈M，则实数m的取值范围是________．

Answer 1

分析：若函数g（x）=∈M 可判断g（x）是定义域[1，+∞）上的增函数，故g（x）满足②即方程在[1，+∞）内有两个不等实根，
方法一：平方去根号，转化为二次函数在特定区间上解的问题，利用实根分布处理；
方法二：可转化为方程在[1，+∞）内有两个不等实根，两个函数的图象有两个交点．结合图象求解．两种方法中都要注意等价转化．
解答：设 g（x）=+m，则易知g（x）是定义域[1，+∞）上的增函数．
∵g（x）∈M，
∴存在区间[a，b]?[1，+∞），满足 g（a）=a，g（b）=b．
即方程 g（x）=x在[1，+∞）内有两个不等实根．
[法一]：方程+m=在[1，+∞）内有两个不等实根，等价于方程 x-1=在[2t，+∞）内有两个不等实根．
即方程x²-（4m+4）x+4m²+4=0在[2m，+∞）内有两个不等实根．
根据一元二次方程根的分布有
解得 0＜m≤
因此，实数t的取值范围是 0＜m≤．
[法二]：要使方程]：方程+m=在[1，+∞）内有两个不等实根
即方程=-m在[1，+∞）内有两个不等实根
如图，当直线 y=x-m经过点（1，0）时，
当直线 y=x-m与y=相切时，
方程两边平方，得x²-（4m+4）+4（m²+4）=0由△=0，得m=0．
因此，利用数形结合得实数t的取值范围是 0＜m≤
故答案为：（0，]

点评：本题考查集合的包含关系、函数的定义域、值域问题，同时考查数形结合思想、等价转化思想和利用所学知识分析问题、解决问题的能力．