Question

已知某几何体的直观图（图1）与它的三视图（图2），其中俯视图为正三角形，其它两个视图是矩形．

（Ⅰ）求出该几何体的体积；
（Ⅱ）D是棱A₁C₁上的一点，若使直线BC₁∥平面AB₁D，试确定点D的位置，并证明你的结论；
（Ⅲ）在（Ⅱ）成立的条件下，求证：平面AB₁D⊥平面AA₁D．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把原图还原得该几何体为正三棱柱，底面是高为

3

的正三角形，三棱柱的高h=3，代入正三棱柱的体积计算公式即可．
（Ⅱ）因为棱A₁C₁上最特殊的点就是中点，再借助于线线平行来推线面平行的推法，找和直线BC₁平行的中位线即可．
（Ⅲ）在平面AA₁D中找两条相交直线和平面AB₁D中的直线B₁D垂直即可．

解答：解：由三视图可知该几何体为正三棱柱，底面是高为

3

的正三角形，三棱柱的高h=3，（2分）
（Ⅰ）底面是高为

3

的正三角形，易知底面边长为2，
所以底面面积s=

1

2

×2×

3

=

3

，
所求体积V=sh=3

3

．（4分）
（Ⅱ）连接A₁B，且A₁B∩AB₁=O，
∵正三棱柱侧面是矩形，
∴点O是棱A₁B的中点，（5分）
若BC₁∥平面AB₁D，

连接DO，BC₁?平面A₁BC₁，平面AB₁D∩平面A₁BC₁=DO，
∴BC₁∥DO，
∴DO是△A₁BC₁的中位线，
∴D为A₁C₁的中点．
即D为A₁C₁的中点时，BC₁∥平面AB₁D．（8分）
（Ⅲ）在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，三角形A₁B₁C₁为正三角形，
∴B₁D⊥A₁C₁．，
又由三棱柱性质知平面A₁B₁C₁⊥平面ACC₁A₁，
且平面A₁B₁C₁∩平面ACC₁A₁=A₁C₁，B₁D?平面A₁B₁C₁，
∴B₁D⊥平面AA₁D，（10分）又B₁D?平面AB₁D，
∴平面AB₁D⊥平面AA₁D（12分）

点评：本题考查平面和平面垂直的判定和性质．在证明面面垂直时，其常用方法是在其中一个平面内找两条相交直线和另一平面内的某一条直线垂直．