Question

已知函数f（x）=1+

2

x

(x≠0)．
（1）证明：f（x）在（0，+∞）上是减函数；
（2）当x∈[2，6]时，求f（x）的最小值和最大值．

Answer 1

分析：（1）设0＜x₁＜x₂，计算 f（x₁）-f（x₂）=

2(x2-x1)

x1x2

＞0，可得f（x₁）-f（x₂）＞0，故f（x）在（0，+∞）上是减函数．
（2）[2，6]⊆（0，+∞），可得f（x）在[2，6]上是减函数，从而求得函数的最值．

解答：解：（1）证明：设0＜x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=

2(x2-x1)

x1x2

．
由题设可得 x₁＞0，x₂＞0，x₁x₂＞0，x₂-x₁＞0，∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），∴f（x）在（0，+∞）上是减函数． 
（2）∵[2，6]⊆（0，+∞），∴f（x）在[2，6]上是减函数，…（10分）
∴f（x）_max=f（2）=2，f(x)min=f(6)=

4

3

．…（12分）

点评：本题主要考查函数的单调性的判断和证明，利用函数的单调性求函数的最值，属于中档题．