Question

在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且

cosB

cosC

=-

b

2a+c

．
（I）求角B的大小；
（II）若b=

13

，求△ABC的面积最大值．

Answer 1

分析：（I）利用正弦定理化简已知等式右边，整理后利用诱导公式化简，由sinA不为0求出cosB的值，利用特殊角的三角函数值即可求出角B的大小；
（II）利用余弦定理列出关系式，把b与cosB的值代入，利用基本不等式求出ac的最大值，利用三角形面积公式表示出三角形ABC面积，把sinA与ac最大值代入即可求出面积的最大值．

解答：解：（I）由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R得：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
将上式代入已知

cosB

cosC

=-

b

2a+c

得：

cosB

cosC

=-

sinB

2sinA+sinC

，
整理得：2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0，
即2sinAcosB+sin（B+C）=0，
∵A+B+C=π，∴sin（B+C）=sinA，
∴2sinAcosB+sinA=0，
∵sinA≠0，∴cosB=-

1

2

，
∵B为三角形的内角，
∴B=

2π

3

；
（II）由余弦定理b²=a²+c²-2accosB得：13=a²+c²+ac≥2ac+ac，
整理得：ac≤

13

3

，
∴S_△ABC=

1

2

acsinB≤

1

2

×

13

3

×

3

2

=

13 3

12

，
则当a=c=

39

3

时，△ABC的面积最大值为

13 3

12

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，基本不等式的运用，诱导公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．