Question

设a、b∈Ｒ，关于x的方程x²＋ax＋b=0的实根为α、β.若｜a｜＋｜b｜＜1，求证：｜α｜＜1，｜β｜＜1.

Answer 1

证法一:∵α＋β=-a，αβ=b，

    ∴｜α＋β｜＋｜αβ｜=｜a｜＋｜b｜＜1.

    ∴｜α｜-｜β｜＋｜α｜｜β｜＜1,（｜α｜-1）（｜β｜＋1）＜0.

    ∴｜α｜＜1.同理,｜β｜＜1.

证法二:设f(x)=x²＋ax＋b,则有

    f（1）=1＋a＋b＞1-（｜a｜＋｜b｜）＞1-1=0,

    f（-1）=1-a＋b＞1-（｜a｜＋｜b｜）＞0.

    ∵0≤｜a｜＜1，

    ∴-1＜a＜1.

    ∴-＜-＜.

    ∴方程f(x)=0的两实根在(-1,1)内，即｜α｜＜1，｜β｜＜1.

讲评:证法一先利用韦达定理，再用绝对值不等式的性质恰好能分解因式;证法二考虑根的分布，证两根在(-1,1)内.