Question

设n为正整数，规定：，已知，
（1）解不等式f（x）≤x；
（2）设集合A={0，1，2}，对任意x∈A，证明：f₃（x）=x；
（3）求的值；
（4）若集合B={x|f₁₂（x）=x，x∈[0，2]}，证明：B中至少包含8个元素．

Answer 1

【答案】分析：（1）分类讨论解出即可；
（2）利用分段函数的意义得出函数值即可；
（3）利用已知得出其周期即可；
（4）利用（2）（3）即可找出几何B中至少含有8个元素．
解答：解：（1）①当0≤x≤1时，由2（1-x）≤x，得，∴．
②当1＜x≤2时，∵x-1≤x恒成立，∴1＜x≤2． 
由①②得f（x）≤x的解集为．
（2）∵f（0）=2，f（1）=0，f（2）=1，
∴当x=0时，f₃（0）=f（f（f（0）））=f（f（2））=f（1）=0，
当x=1时，f₃（1）=f（f（f（1）））=f（f（0））=f（2）=1，
当x=2时，f₃（2）=f（f（f（2）））=f（f（1））=f（0）=2．  
（3），，
，，
一般地，，（k，r∈N^*），
∴． 
（4）由（1）知，，∴，则，．
由（2）知，对x=0或x=1或x=2恒有f₃（x）=x，∴f₁₂（x）=f_4×3（x）=x，则0，1，2∈B．
由（3）知，对，恒有f₁₂（x）=f_4×3（x）=x，
∴．
综上所述：，
∴B中至少包含8个元素．
点评：熟练掌握分类讨论思想方法、分段函数的意义、函数的周期性等是解题的关键．