Question

【题目】已知数列的前项和为，且，数列满足，且.

（1）求数列，的通项公式；

（2）若，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）..（2）

【解析】

（1）由代入计算可得；将代入，可得，可得；

（2）由，可得的通项公式，由错位相减法可得的值，由，可得，分为偶数与奇数进行讨论，可得实数的取值范围.

（1）由已知可得.

当时，，，

所以.

显然也满足上式，

所以.

因为，所以.

又，

所以数列是首项为2，公比为2的等比数列.

所以.

（2）由（1）可得，

所以.

所以，

所以，

两式作差，得

所以.

不等式，化为.

当为偶数时，则.

因为数列单调递增，所以.

所以.

当为奇数时，即，即.

因为单调递减，所以.

所以.

综上可得：实数的取值范围是.