Question

已知f（x）是定义在R上的不恒等于零的函数，且对于任意的a，b∈R，满足f（ab）=af（b）+bf（a），f（2）=2，a_n=，b_n=，n∈N^*，下列结论：
①f（0）=f（1）；②f（x）为偶函数；③f（x）为奇函数；④数列{a_n}为等比数列； ⑤数列{b_n}为等差数列． 正确的序号为    ．

Answer 1

【答案】分析：由函数关系式f（ab）=af（b）+bf（a），可以计算f（0）、f（1）的值，判断①；计算f（-1）的值，得f（-x）与-f（x）的关系，知f（x）的奇偶性，判断②、③；由f（2）、f（2ⁿ），得出b_n=b_n-1+1，判断⑤；由b₁、b_n，得出a_n，判断④．
解答：解：∵f（0）=f（0•0）=0•f（0）+0•f（0）=0；f（1）=f（1•1）=2f（1），∴f（1）=0；∴f（0）=f（1），故①正确；
由f（1）=f[（-1）•（-1）]=-2f（-1），得f（-1）=0，则f（-x）=-1•f（x）+x•f（-1）=-f（x），∴f（x）是奇函数，故②错误，③正确；
又∵f（2）=2，∴f（2ⁿ）=f（2•2^n-1）=2f（2^n-1）+2^n-1f（2）=2f（2^n-1）+2ⁿ，∴b_n===+1
即b_n=b_n-1+1，∴{b_n}是等差数列，故⑤正确；
又b₁==1，∴b_n=1+（n-1）×1=n，∴f（2ⁿ）=2ⁿb_n=n•2ⁿ，∴a_n=2ⁿ，∴数列{a_n}是等比数列，故④正确．
故答案为：①③④⑤．
点评：本题考查了数列与函数知识的综合运用，解题时应用了函数的赋值法，函数的奇偶性，等差、等比数列的定义等知识，要细心解答．