Question

如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8，E是PB上任意一点，△AEC面积的最小值是3．

（Ⅰ）求证：AC⊥DE；

（Ⅱ）求四棱锥P－ABCD的体积．

Answer 1

（1）同解析；（2）V_P—ABCD＝S_□ABCD·PD＝×24×＝

解析:

（Ⅰ）证明：连接BD，设AC与BD相交于点F．

因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD．

又因为PD⊥平面ABCD，AC平面ABCD，所以PD⊥AC．

而AC∩BD＝F，所以AC⊥平面PDB．

E为PB上任意一点，DE平面PBD，所以AC⊥DE．

（Ⅱ）连EF．由（Ⅰ），知AC⊥平面PDB，EF平面PBD，所以AC⊥EF．

S_△ACE＝AC·EF，在△ACE面积最小时，EF最小，则EF⊥PB． 

S_△ACE＝3，×6×EF＝3，解得EF＝1．

由△PDB∽△FEB，得．由于EF＝1，FB＝4，，

所以PB＝4PD，即．解得PD＝．

V_P—ABCD＝S_□ABCD·PD＝×24×＝