Question

（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.）

　　　设各项均为正数的数列{a_n}满足.

（Ⅰ）若，求a₃，a₄，并猜想a_2cos的值（不需证明）；

（Ⅱ）记对n≥2恒成立，求a₂的值及数列{b_n}的通项公式.

Answer 1

（Ⅰ）见解析

（Ⅱ）a₂=2^*2= b_n=2^S_n=2^2－(nN*)

解析:

(Ⅰ)因

            

             由此有，故猜想的通项为

                            

         （Ⅱ）令

             由题设知x₁=1且

                      ①

            

                                  ②

             因②式对n=2成立，有

                                                        ③

             下用反证法证明：

                 由①得

             因此数列是首项为，公比为的等比数列.故

                               ④

            又由①知 

            因此是是首项为，公比为-2的等比数列,所以

                             ⑤

            由④-⑤得

                      ⑥

            对n求和得

 ⑦

      由题设知

          

           即不等式2^2k+1＜

对kN^*恒成立.但这是不可能的，矛盾.

因此x₂≤,结合③式知x₂=,因此a₂=2^*2=

将x₂=代入⑦式得

S_n=2－(nN*),

所以b_n=2^S_n=2^2－(nN*)