Question

已知函数f(x)＝lnx－x＋－1，g(x)＝x²－2bx＋4，若对任意x₁∈(0，2)，存在x₂∈[1，2]，使f(x₁)≥g(x₂)，则实数b的取值范围是

[　　]

A．

(2，]

B．

[1，＋∞]

C．

[，＋∞)

D．

[2，＋∞]

Answer 1

答案：C
解析：

(x)＝，令(x)＝0得x1＝1，x2＝3(0，2)． 　　当x∈(0，1)时，(x)＜0，函数f(x)单调递减；当x∈(1，2)时，(x)＞0，函数f(x)单调递增，所以f(x)在(0，2)上的最小值为f(1)＝－． 　　由于“对任意x1∈(0，2)，存在x2∈[1，2]，使f(x1)≥g(x2)”等价于“g(x)在[1，2]上的最小值不大于f(x)在(0，2)上的最小值－”．(*) 　　又g(x)＝(x－b)2＋4－b2，x∈[1，2]，所以 　　①当b＜1时，因为[g(x)]min＝g(1)＝5－2b＞0，此时与(*)矛盾； 　　②当b∈[1，2]时，因为[g(x)]min＝4－b2≥0，此时与(*)矛盾； 　　③当b∈(2，＋∞)时，因为[g(x)]min＝g(2)＝8－4b． 　　解不等式8－4b≤－，可得b≥． 　　综上，b的取值范围是[，＋∞)．