题目内容
已知函数f(x)=
x4+x3-
+cx有三个极值点.(Ⅰ)证明：-27＜c＜5;
(Ⅱ)若存在c,使函数f(x)在区间[a,a+2]上单调递减，求a的取值范围.
解 (Ⅰ)因为函数f(x)=x4+x3-x2+cx有三个极值点，所以
f′(x)=x3+3x3-9x+c=0有三个互异的实根.
设g(x)=x3+3x2-9x+c，则g′(x)=3x2+6x-9=3(x+3)(x-1).
当x＜-3时，g′(x)＞0,g(x)在(-∞,-3)上为增函数,
当-3＜x＜1时，g′(x) ＜0,g(x)在(-3,1)上为减函数,
当x＞1时，g′(x)＞0,g(x)在(1,+ ∞)上为增函数.
所以函数g(x)在x=-3时取极大值，在x=1时取极小值.
当g(-3) ≤0或g(1) ≥0时，g(x)=0最多只有两个不同实根，因为g(x)=0有三个不同实根，所以g(-3)＞0，且g(1)＜0.即-27+27+27+c＞0，且1+3-9+c＜0,解得c＞-27，且c＜5.
故-27＜c＜5.
(Ⅱ)由(Ⅰ)的证明可知，当-27＜c＜5时，f(x)有三个极值点，不妨设为x1,x2,x3(x1＜x2＜x3),则f′(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3).
所以f(x)的单调递减区间是(-∞，x1],[x2,x3].
若f(x)在区间[a,a+2]上单调递减，则[a,a+2]
(- ∞,x1],或[a,a+2]
[x2,x3].
若[a,a+2]
(-∞,x1],则a+2≤x1,由(Ⅰ)知，x1＜-3，于是a＜-5.
若[a,a+2]
[x2,x3],则a≥x2,且a+2≤x3.由(Ⅰ)知，-3＜x2＜1.
又f′(x)=x3+3x2-9x+c，当c=-27时，f′(x)=(x-3)(x+3)2;当c=5时，f′(x)=(x+5)(x-1)2.
因此，当-27＜c＜5时，1＜x3＜3.
所以a＜-3，且a+2＜3.即-3＜a＜1.
故a＜-5，或-3＜a＜1.
反之，当a＜-5，或-3＜a＜1时，总可找到c
(-27,5),使f(x)在区间[a,a+2]上单调递减.
综上所述，a的取值范围是(-∞,-5)
(-3,1).
