Question

正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁的棱长为a,M、N分别是棱AA₁和CC₁上的动点,且AM=C₁N.

(1)求证:四边形MBND₁是平行四边形;

(2)求四边形MBND₁面积的最小值.

Answer 1

(1)证法一：在BB₁上取点G,使BG=C₁N,连结C₁G、MG,由于BGNG,

    ∴BNGC₁.

    又AM=BG,

    ∴MGD₁C₁GC₁MD₁BN四边形MBND₁是平行四边形.

    证法二:建立空间直角坐标系(如图).

    则B(a,a,0)、D₁(0,0,a),设M(a,0,t),N(0,a,a-t).

    则=(0,a,-t), =(0,a,-t).

    由于=,

    ∴D₁NMB.

    ∴四边形MBND₁是平行四边形.

(2)解:设AM=t,则||=,||==||.

    由于=(0,a,-t), =(-a,0,a-t),∴cos〈,〉=.

    ∴sin〈,〉=.

    ∴=||·||·sin〈,〉=2a²t²-2a³t+2a⁴.

    当t=-=时,

    ()_min==a⁴.