Question

已知定义在R上的函数f（x），满足f(2)=2-

3

，且对任意的x都有f(x+3)=

1

-f(x)

，则f（2009）=

 

．

Answer 1

分析：由f(x+3)=

1

-f(x)

，得到函数是周期为6的周期函数，然后根据函数的周期性即可求值．

解答：解：∵f(x+3)=

1

-f(x)

，
∴f（x+6）=f（x），
即函数f（x）是周期为6的周期函数，
∴f（2009）=f（334×6+5）=f（5）=f（2+3）=-

1

f(2)

，
∵f(2)=2-

3

，
∴

1

f(2)

=

1

2- 3

=2+

3

，
∴f（2009）=-

1

f(2)

=-（2+

3

），
故答案为：-（2+

3

）．

点评：本题主要考查函数值的计算，利用条件求出函数的周期性是解决本题的关键．