Question

设f(x)=log

1

2

x+1

x-1

+log

1

2

(x-1)+log

1

2

(3-x)
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）f（x）是否存在最大值或最小值？如果存在，请把它求出来；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由函数f（x）的解析式可得

x+1 x-1 ＞0 x-1＞0 3-x＞0

，解得 1＜x＜3，由此可得函数的定义域．
（2）由于 f（x）=log

1

2

(x+1)(3-x)=log

1

2

[-(x-1)2+4]．令t=（x+1）（3-x）＞0，则f（x）=log

1

2

t．由于函数t有最大值为4，而没有最小的正值，故函数f（x）有最小值为log

1

2

4，而没有最大值．

解答：解：（1）由于f(x)=log

1

2

x+1

x-1

+log

1

2

(x-1)+log

1

2

(3-x)，
可得

x+1 x-1 ＞0 x-1＞0 3-x＞0

，解得 1＜x＜3，
故函数的定义域为（1，3）．
（2）由于f(x)=log

1

2

x+1

x-1

+log

1

2

(x-1)+log

1

2

(3-x)=log

1

2

(x+1)(3-x)
=log

1

2

[-(x-1)2+4]．
令t=（x+1）（3-x）＞0，则f（x）=g（t）=log

1

2

t．
由于函数t有最大值为4，而没有最小的正值，故函数f（x）有最小值为log

1

2

4=-2，而没有最大值．

点评：本题主要考查对数函数的图象和性质综合应用，复合函数的单调性，体现了转化的数学思想，属于中档题．