题目内容

（2012•吉林二模）在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且满足cos
A
2
=
2
5
5
，
AB
•
AC
=3，b+c=6
（I）求a的值；
（II）求
2sin(A+
π
4
)sin(B+C+
π
4
)
1-cos2A
的值．
分析：（I）利用二倍角的余弦函数公式化简cosA，将已知的cos
A
2
代入求出cosA的值，再利用平面向量的数量积运算法则化简
AB
•
AC
=3，将cosA的值代入求出bc的值，再由b+c的值，两者联立求出b与c的值，由b，c及cosA的值，利用余弦定理即可求出a的值；
（II）由三角形的内角和定理得到B+C=π-A，代入所求的式子中，利用诱导公式化简，整理后再利用诱导公式化简，得到关于cos2A的式子，由cosA的值，利用二倍角的余弦函数公式求出cos2A的值，代入化简后的式子中即可求出原式的值．
解答：解：（I）∵cos
A
2
=
2
5
5
，
∴cosA=2cos2
A
2
-1=
3
5
，
又
AB
•
AC
=3，即bccosA=3，
∴bc=5，又b+C=6，
∴b=5，c=1或b=1，c=5，
由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA=20，
∴a=2
5
；
（II）
2sin(A+
π
4
)sin(B+C+
π
4
)
1-cos2A

=
2sin(A+
π
4
)sin(π-A+
π
4
)
1-cos2A
=
2sin(A+
π
4
)sin(A-
π
4
)
1-cos2A

=
2sin(A+
π
4
)cos[
π
2
-(A-
π
4
)]
1-cos2A
=
-2sin(A+
π
4
)cos(A+
π
4
)
1-cos2A

=-
sin(2A+
π
2
)
1-cos2A
=-
cos2A
1-cos2A
，
∴cosA=
3
5
，∴cos2A=2cos2A-1=-
7
25
，
∴原式=-
-
7
25
1+
7
25
=
7
32
．
点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，平面向量的数量积运算，余弦定理，诱导公式，以及二倍角的正弦、余弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
练习册系列答案
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（2012•吉林二模）设函数f(x)=
1-a
2
x2+ax-lnx(a∈R)．
（Ⅰ） 当a=1时，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）当a＞1时，讨论函数f（x）的单调性．
（Ⅲ）若对任意a∈（3，4）及任意x1，x2∈[1，2]，恒有
(a2-1)
2
m+ln2＞|f(x1)-f(x2)|成立，求实数m的取值范围．
（2012•吉林二模）设集合A={x|0≤x＜1}，B={x|1≤x≤2}，函数f(x)=
2x，(x∈A)
4-2x，(x∈B)
，x0∈A且f[f（x0）]∈A，则x0的取值范围是
（log2
3
2
，1）
（log2
3
2
，1）
．
（2012•吉林二模）设函数f（x）=
1-a2
x2+ax-lnx （a∈R）
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）当a＞1时，讨论函数f（x）的单调性．
（Ⅲ）若对任意a∈（2，3）及任意x1，x2∈[1，2]，恒有ma+ln2＞|f（x1）-f（x2）|成立，求实数m的取值范围．
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3
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3
sinBsinC，则A=
π
6
π
6
．
（2012•吉林二模）执行程序框图，若输出的结果是
15
16
，则输入的a为（　　）

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