Question

【题目】已知函数，其中，记函数的定义域为.

(1)求函数的定义域；

(2)若函数的最大值为2，求的值；

(3)若对于内的任意实数,不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）定义域为;(2) ;(3) .

【解析】试题分析：（1）根据函数的解析式，列出不等式组，即可求解函数的定义域；

（2）根据对数的运算，得，再利用二次函数的性质，即可得到函数的最大值，进而求解实数的值；

（3）由题意在恒成立，转化为在恒成立，

设，再利用换元法和基本不等式，即可求解函数的最小值，进而得到实数的取值范围.

试题解析：

（1）要使函数有意义：则有，解得－2＜x＜1

∴ 函数的定义域为.

（2）

因为

所以

因为，所以，

即，

由，得，

（3）由在恒成立，

得

因为，所以

所以在恒成立

设，令

则

即，因为，

所以（当且仅当时，取等号

所以

所以 .