题目内容

已知f（x）=lg（a^x-b^x）（a，b为常数），
①当a，b＞0且a≠b时，求f（x）的定义域；
②当a＞1＞b＞0时，判断f（x）在定义域上的单调性，并用定义证明．

解：①a^x-b^x＞0?a^x＞b^x? $\text{[math]}$ ＞1，若a＞b＞0，则 $\text{[math]}$ ＞1，?x＞0为f（x）的定义域．
若0＜a＜b，则0＜ $\text{[math]}$ ＜1?x＜0为f（x）定义域．
②设0＜x₁＜x₂（∵a＞b）
∵a＞1，∴ $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ；
∵0＜b＜1，∴ $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$ ?- $\text{[math]}$ ＜- $\text{[math]}$ ? $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ，
即可?lg（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）＜lg（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ），即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）为增函数．
分析：①定义域即ax-bx＞0，由此能求出其定义域．
②取x₁＞x₂＞0，再用定义证明f（x₁）-f（x₂）＜0．即：取值、作差、变形、判断符号、得出结论．
点评：本题考查对数函数的性质和应用，解题时要认真审题，合理求解，注意公式的灵活运用．