题目内容

已知函数f（x）= $数学公式$ -x（0＜x＜ $数学公式$ ）．
（Ⅰ）求 $数学公式$ ；
（Ⅱ）求证：不等式sin³x＞x³cosx在 $数学公式$ 上恒成立；
（Ⅲ）求g（x）= $数学公式$ 在 $数学公式$ 的最大值．

（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）∵ $\text{[math]}$ -1= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ …
∴ $\text{[math]}$ …
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 $\text{[math]}$ ，其中f（0）=0
令G（x）=f'（x），则 $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上恒成立
故G（x）在 $\text{[math]}$ 上为增函数，故f′（x）＞f′（0）=0，…
所以f（x）在 $\text{[math]}$ 上为增函数，故f（x）＞f（0）=0，
即sin³x＞x³cosx，…
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知sin³x-x³cosx＞0在 $\text{[math]}$ 上恒成立．
则g′（x）= $\text{[math]}$ ＞0在 $\text{[math]}$ 上恒成立． …
即g（x）在 $\text{[math]}$ 单调递增
于是 $\text{[math]}$ …
分析：（Ⅰ）求出导函数f′（x），直接令x= $\text{[math]}$ ，代入求值即可．
（Ⅱ）观察不等式与函数解析式的关系，只需证明f（x）在 $\text{[math]}$ f（x）＞=0，．利用导数考察单调性及最值，作出证明．
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知sin³x-x³cosx＞0在 $\text{[math]}$ 上恒成立．则g′（x）= $\text{[math]}$ ＞0 $\text{[math]}$ 上恒成立．即g（x）在 $\text{[math]}$ 单调递增，最大值可求．
点评：本题考查基本函数导数的求导运算，考查导数工具证明不等式，考查函数最值的求解，充分发挥导数的工具作用，考查学生的转化与化归思想．