Question

（2010•江西模拟）在△ABC中，A（-cosx，cos2x），B(-

3

sinx，-cosx)，C（λ，1），0≤x≤π，若△ABC的重心在y轴的负半轴上．
（1）求x的取值范围；（2）求λ的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题知，△ABC的重心G在y轴的负半轴上，故其横坐标为0，纵坐标为负数，利用重心坐标公式，用三个顶点的坐标表示出重心的坐标，根据坐标的符号建立不等式，解出x的取值范围；
（2）由（1）得λ=

3

sinx+cosx，

π

3

＜x＜

π

2

，先利用正弦的和角公式化简，再由正弦函数的性质求出λ的 取值范围

解答：解：（1）△ABC的重心G在y轴的负半轴上．
则

-cosx- 3 sinx+λ

3

=0，且

cos2x-cosx+1

3

＜0，0≤x≤π
所以  2cos²x-1-cosx+1＜0，即cosx（2cosx-1）＜0，0＜cosx＜

1

2

，故

π

3

＜x＜

π

2

（2）λ=

3

sinx+cosx=2(

3

2

sinx+

1

2

cosx)=2sin(x+

π

6

)
∵

π

3

＜x＜

π

2

，

π

2

＜x+

π

6

＜

2

3

π，

3

2

＜sin(x+

π

6

)＜1，

3

＜2sin(x+

π

6

)＜2
故

3

＜λ＜2λ的取值范围是(

3

，2)

点评：本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，解题的关键是掌握三角形的重心公式及三角函数的恒等变换公式，正弦函数的单调性等，本题是三角函数公式的综合运用题，考查了运用公式变形的能力