Question

△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量

m

=(a，btanA)，

n

=(b，atanB)．
（1）若

m

∥

n

，试判断△ABC的形状；
（2）若

m

⊥

n

，且a=2

3

，b=2，求△ABC的面积．

Answer 1

（1）由

m

∥

n

，知a²tanB=b²tanA，即a²sinBcosA=b²sinAcosB，
利用正弦定理化简得：sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B，
又A，B∈（0，π），0＜A+B＜π，
∴2A=2B，或2A+2B=π，即A=B或A+B=

π

2

，
则△ABC为等腰三角形或直角三角形；
（2）由

m

⊥

n

，知ab+abtanAtanB=0，即tanAtanB=-1，
∴cosAcosB+sinAsinB=0，即cos（A-B）=0，
又A，B∈（0，π），a=2

3

，b=2，
∴A＞B，
∴A-B=

π

2

，
在△ABC中，由正弦定理得：

2

sinB

=

2 3

sinA

=

2 3

sin(B+ π 2 )

=

2 3

cosB

，
∴tanB=

3

3

，又B∈（0，π），
∴B=

π

6

，
∴A=B+

π

2

=

2π

3

，C=

π

6

，
则S=

1

2

absinC=

1

2

×2

3

×2×

1

2

=

3

．