Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且2S_n=n²+n（n∈N^*）．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）求证：．

Answer 1

（I）解：由2S_n=n²+n（n∈N^*）．①
当n≥2时，2S_n-1=（n-1）²+n-1②
①-②得a_n=n
当n=1时，a₁=1也满足上式，
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=n；
（II）证明：∵
∴=
分析：（I）已知2S_n=n²+n（n∈N^*）．①，当n≥2时，2S_n-1=（n-1）²+n-1②，两式相减①-②得a_n=n，验证当n=1时，a₁=1也满足上式，可得数列{a_n}的通项公式；
（II）根据，可得=
点评：本题以数列{a_n}的前n项和为S_n为载体，考查数列的通项，考查裂项法求数列的和，考查放缩法证明不等式，综合性强．