Question

数列{a_n}中，an=

1+2+3+…+n

n

，bn=

1

anan+1

的前n项和为

 

．

Answer 1

分析：由等差数列求和公式求数列a_n的通项公式得an=

n+1

2

，代入bn=

1

anan+1

得到bn=4(

1

n+1

-

1

n+2

)，然后用裂项求和得到bn的前n项和为

2n

n+2

．

解答：解：设数列b_n的前n项和为S_n
由题意可得an=

1+2+3+…+n

n

=

n(n+1) 2

n

=

n+1

2

∴an+1=

n+2

2

∴bn=

1

anan+1

=

1

n+1 2 n+2 2

=

4

(n+1)(n+2)

=4(

1

n+1

-

1

n+2

)
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n-1+b_n
=4(

1

2

-

1

3

+ 

1

3

-

1

4

…+

1

n

-

1

n+1

+

1

n+1

-

1

n+2

)
=4(

1

2

-

1

n+2

)
=

2n

n+2

∴bn=

1

anan+1

的前n项和为

2n

n+2

．

点评：本题考查等差数列求和公式，重点考查是利用通项变形将通项公式裂成两项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限的几项的和．