Question

已知数列{a_n}的前n项的和为S_n，若na_n+1=S_n+n（n+1）且a₁=2．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令T_n=

Sn

2n

，①当n为何值时，T_n＞T_n+1，②若对一切正整数n，总有T_n≤m，求m的取值范围．

Answer 1

分析：本题考查的是数列与不等式的综合类问题．在解答的过程当中：
（1）首先利用条件和通项与前n项和的关系即可转化出数列a_n的通项之间的关系，进而即可获得数列{a_n}的通项公式；
（2）首先利用第（1）问的结论即可将T_n化简，再利用数学归纳法判断T_n的单调性，由单调性即可获得①的解答，进而由单调性即可获得的最大值从而可以结合②中的恒成立问题进行转化即可获得问题的解答．

解答：解：（1）由题意可知：na_n+1=S_n+n（n+1）
∴（n-1）a_n=S_n-1+（n-1）n
两式相减可得：a_n+1-a_n=2
所以数列{a_n}为以2为首项以2为公差的等差数列．
∴a_n=2+（n-1）•2=2n
∴数列{a_n}的通项公式：a_n=2n，n∈N*
（2）由（1）知：Sn=

n(2+2n)

2

=n2+n
∴Tn=

Sn

2n

=

n2+n

2n

，
∴T1=

2

2

=1
T2=

6

4

=

3

2

T3=

9+3

8

=

3

2

T4=

16+4

16

=

5

4

T5=

25+5

32

=

15

16

…
可猜测当n≥3时，数列{a_n}为单调递减数列，当n≤2时，数列{a_n}为单调递增数列．
对“当n≥3时，数列{a_n}为单调递减数列”证明如下：
当n=3时，T3=

9+3

8

=

3

2

 
当n=4时，T4=

16+4

16

=

5

4

，∴T₄＜T₃
假设当n=k时成立，即T_k＜T_k-1，∴

(k-1)2+k-1

2k-1

＞

k2+k

2k

则当n=k+1时，Tk+1= 

(k+1)2+k+1

2k+1

=

1

2

•

(k2+k)+2k+2

2k

＜

1

2

• (

(k-1)2+k-1

2k-1

+

2k+2

2k

)
=

k2+1

2k

＜

k2+k

2k

故当n=k+1时猜测成立．综上可知：当n≥3时，数列{a_n}为单调递减数列，当n≤2时，数列{a_n}为单调递增数列．
又因为：对一切正整数n，总有T_n≤m，且T_n的最大值为

3

2

，所以m≥

3

2

．
∴当n≥3时，T_n＞T_n+1，
m的取值范围为：m≥

3

2

．

点评：本题考查的是数列与不等式的综合类问题．在解答的过程当中充分体现了数列通项与数列前n项和的知识、数列与函数的思想、单调性的研究以及恒成立问题的解答规律．值得同学们体会和反思．