Question

已知二次函数f（x）=x²-ax+a（a＞0，x∈R）有且只有一个零点，数列{a_n}的前n项和S_n=f（n）（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=

an

3n

，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）题中二次函数只有一个零点，得到相应方程有两个等根，由根的判别式求得a；从而得到S_n，由S_n求通项公式；
（2）对于等比数列与等差数列相乘的形式的数列的求和，利用错位相减法．

解答：解：（Ⅰ）依题意，△=a²-4a=0?a=0或a=4
又由a＞0得a=4，f（x）=x²-4x+4
∴S_n=n²-4n+4
当n=1时，a₁=S₁=1-4+4=1；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n-5∴an=

1(n=1) 2n-5(n≥2)

（6分）
（Ⅱ）∵T_n=

1

3

+

-1

32

+

1

33

+

3

34

++

2n-5

3n

①
∴

1

3

T_n=

1

32

+

-1

33

+

1

34

+

3

35

+

2n-7

3n

+

2n-5

3n+1

②
由①-②得

2

3

Tn=

1

3

-

2

32

+2(

1

33

+

1

34

++

1

3n

)-

2n-5

3n+1

∴Tn=

1

3

-

n-1

3n

．（12分）

点评：本题主要考查函数的零点、数列的求和及错位相减法．错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式． 形如An=BnCn，其中Bn为等差数列，Cn为等比数列；分别列出Sn，再把所有式子同时乘以等比数列的公比，即kSn；然后错一位，两式相减即可．