Question

已知函数f（x）=log₂（x+1），g（x）=log₂（3x+1）．
（1）求出使g（x）≥f（x）成立的x的取值范围；
（2）在（1）的范围内求y=g（x）-f（x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用对数函数y=log₂x的单调性即可求得g（x）≥f（x）成立的x的取值范围；
（2）利用函数y=g（x）-f（x）的性质即可求得其最小值．

解答：解：（1）∵f（x）=log₂（x+1），g（x）=lo

g

(3x+1) 2

，g（x）≥f（x），
∴log₂（x+1）≤lo

g

(3x+1) 2

，
∴3x+1≥x+1＞0，
∴x≥0．
（2）∵y=g（x）-f（x）
=lo

g

(3x+1) 2

-log₂（x+1）
=log2

3x+1

x+1

（x≥0）．
令h（x）=

3x+1

x+1

=3-

2

x+1

，
则h（x）为[0，+∞）上的增函数，
∴h（x）_max=h（0）=1，
由复合函数的性质得：y=g（x）-f（x）的最小值为log₂1=0．

点评：本题考查对数函数的单调性，考查解不等式组的能力，属于中档题．