Question

（本小题满分12分）

如图，已知正三棱柱的各棱长都是4，是的中点，动点在侧棱上，且不与点重合．

（Ⅰ）当=1时，求证：⊥；

（Ⅱ）设二面角的大小为，求的最小值．

Answer 1

本小题主要考查空间直线与平面的位置关系和二面角等基础知识，同时考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。（满分12分）

    解法1：过E作于N，连结EF。

   （I）如图1，连结NF、AC₁，由直棱柱的性质知，

    底面ABC侧面A₁C。

    又度面侧面A，C=AC，且底面ABC，

    所以侧面A₁C，NF为EF在侧面A₁C内的射影，

在中，=1，

则由，得NF//AC₁，

又故。

由三垂线定理知

（II）如图2，连结AF，过N作于M，连结ME。

由（I）知侧面A₁C，根据三垂线定理得

所以是二面角C—AF—E的平面角，即，

设

在中，

在

故

又

故当时，达到最小值；

，此时F与C₁重合。

解法2：（I）建立如图3所示的空间直角坐标系，则由已知可得

于是

则

故

（II）设，

平面AEF的一个法向量为，

则由（I）得F（0，4，）

，于是由可得

取

    又由直三棱柱的性质可取侧面AC₁的一个法向量为，

    于是由为锐角可得，

    所以，

    由，得，即

    故当，即点F与点C₁重合时，取得最小值