Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足Sn=2n-1（n∈N*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=S_n•a_n，且数列{b_n}的前n项和为T_n，求6a_n-T_n的最大值及此时n的值．

Answer 1

（1）当n=1时，a₁=S₁=1，…（2分）
当n＞1时，an=Sn-Sn-1=(2n-1)-(2n-1-1)=2n-2n-1=2n-1，
∵a₁=1适合上式，∴{a_n}的通项公式是an=2n-1．…（6分）
（2）bn=(2n-1)2n-1=22n-1-2n-1，…（7分）
∴Tn=(21+23+25+…+22n-1)-(20+21+22+…+2n-1)=

2(1-4n)

1-4

-

1-2n

1-2

=

2•4n-2

3

-2n+1=

2

3

•4n-2n+

1

3

…（11分）
故6an-Tn=-

2

3

•4n+4•2n-

1

3

=-

2

3

(2n-3)2+

17

3

，
所以当n=1或2时，（6a_n-T_n）_max=5…（14分）