Question

如图，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，侧面AB₁与侧面AC₁所成的二面角为60°，M为AA₁上的点，∠A₁MC₁=30°，∠CMC₁=90°，AB=a．
（1）求BM与侧面AC₁所成角的正切值；
（2）求顶点A到面BMC₁的距离．

Answer 1

分析：建立空间坐标系，求出各点的坐标，
（1）求出线BM方向向量与面AC₁的法向量．由公式求出线面角的正弦，再求余弦．算出正切即可
（2）求出向量MA的坐标，平面MBC₁的法向量，求出向量MA在平面MBC₁的法向量上的投影的长度，此即顶点A到面BMC₁的距离

解答：解：由题知AC=

1

2

a，BC=

3

2

a，A₁M=

3

2

a，MC₁=a，AM=

3

6

a，故棱柱的高CC₁=

2 3

3

a，
以C₁为原点，C₁A₁所在直线为x轴，C1B1所在直线为y轴建立空间坐标系，
则C₁（0，0，0），A₁（

1

2

a，0，0），B₁（0，

3

2

a，0），C（0，0，

2 3

3

a），
A（

1

2

a，0，

2 3

3

a），B（0，

3

2

a，

2 3

3

a），M（

1

2

a，0，

3

2

a）
（1）面AC₁法向量为

CB

=（0，

3

2

a，0），

BM

=（

1

2

a，-

3

2

a，-

3

6

a）
故线面角的正弦为sinθ=

3 4 a2

3 2 a× 13 12 a

=

3 13

13

，cosθ=

2 13

13

，tanθ=

3

2

故所求线面角的正切为

3

2

．
（II）由已知

C 1M

=（

1

2

a，0，

3

2

a），

C 1B

=（0，

3

2

a，

2 3

3

a）
设面C₁MB的法向量为

n

=（x，y，z）
则

n • C 1M =0 n • C 1B =0

∴

x× 1 2 a+z× 3 2 a=0 y× 3 2 a+z× 2 3 3 a=0

即

1 2 x+ 3 2 z=0 3 2 y+ 2 3 3 z=0

令x=1，则z=-

3

3

，y=-

4

3

z=

4 3

9

故

n

=（1，-

3

3

，

4 3

9

）
又

MA

=（0，

3

6

a，0），
故点A到面C₁MB的距离为d=|

n • MA

n

|=

1 6 a

1+ 1 3 + 16 27

=

39

52

a．
即A到面C₁MB的距离为

39

52

a．

点评：本题考点是立体几何中求线面角及求点到面的距离，由于本题第二问用传统的几何方法不易求得三角形的面积，故不方便用等体积法求点到面的距离，有鉴于此，虽然第一问用立体几何方法求线面角正切易求，但因为第二问必须建立空间坐标系，所以第一问也采用了空间向量方法求线面角的正弦；在第二问中，求点到面的距离问题转化成了求点与面上一点所连线段对应的向量在面的法向量上的投影长度的问题，可以看到，此法易想，思路固定，大大降低了解决立体几何问题时思维的难度．