Question

A、B是函数f(x)＝＋的图象上的任意两点，且＝(＋)，已知点M的横坐标为．

(Ⅰ)求证：M点的纵坐标为定值；

(Ⅱ)若S_n＝f()＋f()＋…＋f()，n∈N₊且n≥2，求S_n；

(Ⅲ)已知数列{a_n}的通项公式为a_n＝．T_n为其前n项的和，若T_n＜λ(S_n+1＋1)，对一切正整数都成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

　　(Ⅰ)证明：设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，M(，y_m)，由得

　　即x₁＋x₂＝1．

　　

　　

　　

　　即M点的纵坐标为．4分

　　(Ⅱ)当n≥2时，∈(0，1)，又＝…＝x₁＋x₂，

　　∴＝…＝f(x₁)＋f(x₂)＝y₁＋y₂＝1．

　　…，又…，

　　∴2S_n＝n－1，则(n≥2，n∈N₊)．10分

　　(Ⅲ)由已知T₁＝a₁＝，n≥2时，，

　　∴T_n＝a₁＋a₂＋…＋a_n＝…＝．

　　当n∈N₊时，T_n＜(S_n+1＋1)，即＞，n∈N₊恒成立，则＞．

　　而(n＝2时“＝”成立)，

　　∴，∴实数的取值范围为(，＋∞)．16分