题目内容

数列{an}中，数列{an•an+1}是公比为q（q＞0）的等比数列．
（Ⅰ）求使anan+1+an+1an+2＞an+2an+3成立的q的取值范围；
（Ⅱ）求数列{an}的前2n项的和S2n．
分析：（ I）由题意可知，an+1an+2=anan+1q，an+2an+3=anan+1q2，结合已知anan+1+an+1an+2＞an+2an+3，代入等比数列的通项，可求q的范围
（ II）由数列{an•an+1}是公比为q的等比数列，得，
an+1an+2
anan+1
=q⇒
an+2
an
=q，则数列{an}的所有奇数项成等比数列，所有偶数项成等比数列，且公比都是q，结合等比数列的求和公式，需要对q=1和q≠1两种情况讨论，分别利用分组求和可求
解答：解：（ I）∵数列{an•an+1}是公比为q的等比数列，
∴an+1an+2=anan+1q，an+2an+3=anan+1q2，
由anan+1+an+1an+2＞an+2an+3得anan+1+anan+1q＞anan+1q2
∴1+q＞q2，即q2-q-1＜0（q＞0），
解得0＜q＜
1+
5
2
．（4分）
（ II）由数列{an•an+1}是公比为q的等比数列，得
an+1an+2
anan+1
=q⇒
an+2
an
=q，
这表明数列{an}的所有奇数项成等比数列，所有偶数项成等比数列，且公比都是q，（8分）
又a1=1，a2=2，
∴当q≠1时，S2n=a1+a2+a3+a4+…+a2n-1+a2n
=（a1+a3+…+a2n-1）+（a2+a4+a6+…+a2n）
=
a1(1-qn)
1-q
+
a2(1-qn)
1-q
=
3(1-qn)
1-q
，（10分）
当q=1时，S2n=a1+a2+a3+a4+…+a2n-1+a2n
=（a1+a3+…+a2n-1）+（a2+a4+a6+…+a2n）
=（1+1+1+…+1）+（2+2+2+…+2）=3n…（12分）
点评：本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的应用及分组求和方法的应用，而利用等比数列的求和公式进行求解时，一定要注意对公比q是否为1的考虑
练习册系列答案
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4、给定项数为m（m∈N*，m≥3）的数列{an}，其中ai∈{0，1}（i=1，2，…，m）．若存在一个正整数k（2≤k≤m-1），若数列{an}中存在连续的k项和该数列中另一个连续的k项恰好按次序对应相等，则称数列{an}是“k阶可重复数列”，例如数列{an}：0，1，1，0，1，1，0．因为a1，a2，a3，a4与a4，a5，a6，a7按次序对应相等，所以数列{an}是“4阶可重复数列”．
（Ⅰ）分别判断下列数列
①{bn}：0，0，0，1，1，0，0，1，1，0．
②{cn}：1，1，1，1，1，0，1，1，1，1．是否是“5阶可重复数列”？如果是，请写出重复的这5项；
（Ⅱ）若数为m的数列{an}一定是“3阶可重复数列”，则m的最小值是多少？说明理由；
（Ⅲ）假设数列{an}不是“5阶可重复数列”，若在其最后一项am后再添加一项0或1，均可使新数列是“5阶可重复数列”，且a4=1，求数列{an}的最后一项am的值．
在各项为正的数列{an}中，数列的前n项和Sn满足Sn=
1
2
(an+
1
an
)
（1）求a1，a2，a3；
（2）由（1）结果猜想出数列{an}的通项公式（不用证明）；
（3）求Sn．
给定项数为m（m∈N*，m≥3）的数列{an}，其中ai∈{0，1}（i=1，2，…，m）．若存在一个正整数k（2≤k≤m-1），若数列{an}中存在连续的k项和该数列中另一个连续的k项恰好按次序对应相等，则称数列{an}是“k阶可重复数列”，例如数列{an}：0，1，1，0，1，1，0．因为a1，a2，a3，a4与a4，a5，a6，a7按次序对应相等，所以数列{an}是“4阶可重复数列”．
（Ⅰ）分别判断下列数列
①{bn}：0，0，0，1，1，0，0，1，1，0．
②{cn}：1，1，1，1，1，0，1，1，1，1．是否是“5阶可重复数列”？如果是，请写出重复的这5项；
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（Ⅲ）假设数列{an}不是“5阶可重复数列”，若在其最后一项am后再添加一项0或1，均可使新数列是“5阶可重复数列”，且a4=1，求数列{an}的最后一项am的值．
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①{bn}：0，0，0，1，1，0，0，1，1，0．
②{cn}：1，1，1，1，1，0，1，1，1，1．是否是“5阶可重复数列”？如果是，请写出重复的这5项；
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