Question

在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC．
（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）求sinA+sinB+sinC的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）△ABC中，由已知，根据正弦定理得 a²=b²+c²+bc，再由余弦定理求得cosA=-

1

2

，A=120°．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：sinB+sinC=sin（B+60°），根据60°＜B+60°＜120，求得

3

2

＜sin（B+60°）≤1，从而求得sinB+sinC的取值范围．再由sinA=

3

2

，可得 sinA+sinB+sinC的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）△ABC中，由已知，根据正弦定理得2a²=（2b+c）b+（2c+b）c，即 a²=b²+c²+bc． 由余弦定理得 
  a²=b²+c²-2bc•cosA，故  cosA=-

1

2

，∴A=120°．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：sinB+sinC=sinB+sin（60°-B）=

3

2

cosB+

1

2

sinB=sin（B+60°）．
因为 0°＜B＜60°，所以，60°＜B+60°＜120，∴

3

2

＜sin（B+60°）≤1，
故 sinB+sinC的取值范围是 （ 

3

2

，1]．
再由sinA=sin120°=

3

2

，可得 sinA+sinB+sinC的取值范围为 （

3

，1+

3

2

]．

点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理，两角和差的正公式的应用，正弦函数的定义域和值域，属于中档题