Question

10．△ABC中，4sin²$\frac{A-B}{2}$+4sinAsinB=2+$\sqrt{2}$．
（1）求角C；
（2）若b=4，S△_ABC=6，求c的长．

Answer 1

分析 （1）由三角函数公式化简已知式子可得cos（A+B）的值，代入cosC=-cos（A+B）可得；
（2）由题意和面积公式可得a值，进而又余弦定理可得c值．

解答 解：（1）化简已知式子可得2[1-cos（A-B）]+4sinAsinB=2+$\sqrt{2}$，
∴2-2cosAcosB-2sinAsinB+4sinAsinB=2+$\sqrt{2}$，
∴cosAcosB-sinAsinB=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即cos（A+B）=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴cosC=-cos（A+B）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴C=$\frac{π}{4}$；
（2）由题意可得S=$\frac{1}{2}$absinC=6，即$\sqrt{2}$a=6，解得a=3$\sqrt{2}$，
∴由余弦定理可得c²=a²+b²-2abcosC=18+16-2×3$\sqrt{2}$×4×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=10，
∴c=$\sqrt{10}$．

点评 本题考查解三角形，涉及正余弦定理和三角函数公式，属基础题．