Question

已知二次函数f（x）满足：f（1-x）=f（x+1），f（0）=2，f（1）=1．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（I）设f（x）解析式为y=ax²+bx+c，由f（1-x）=f（x+1）可得-

b

2a

=1，又f（0）=2，f（1）=1，即可得一个方程组进而得到答案．
（Ⅱ）由（I）可得：y=x²-2x+2=（x-1）²+1，再结合二次函数的性质可得答案．

解答：解：（I）设f（x）解析式为y=ax²+bx+c（a≠0）…（2分）
∵f（1-x）=f（x+1）
∴f（x）对称轴为x=1，即-

b

2a

=1…①…（4分）
又f（0）=2，f（1）=1
∴

c=2 a+b+c=1

…②…（6分）
所以联立①②，得a=1，b=-2，c=2…（8分）
所以f（x）解析式为：y=x²-2x+2…（9分）
（Ⅱ）由（I）可得：y=x²-2x+2=（x-1）²+1
所以结合二次函数的性质可得：f（x）单调增区间为（1，+∞）；…（11分）
并且f（x）单调减区间为（-∞，1）；…（13分）

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握利用待定系数法求函数解析式，以及熟练掌握二次函数的性质与函数图象，此题属于基础题．