Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且Sn=1-an(n∈N*)．
（1）试求{a_n}的通项公式；
（2）若bn=

n

an

(n∈N*)，试求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

（1）n=1时，a₁=1-a₁，a₁=

1

2

，
∵Sn=1-an(n∈N*)①，∴S_n+1=1-a_n+1②，
②-①得a_n+1=-a_n+1+a _n，∴a_n+1=

1

2

a _n，
∴数列{a_n}是首项为a₁=

1

2

，公比q=

1

2

的等比数列，
∴a_n=

1

2

•(

1

2

)n-1=(

1

2

)n
（2）bn=

n

an

=n•2n(n∈N*)
∴T_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，③
2T_n=1×2²+2×2³+3+3×2³+…+n×2ⁿ⁺¹，④
③-④得，-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n×2 ⁿ⁺¹③，
=

2(1-2n)

1-2

-n×2 ⁿ⁺¹③，
整理得T_n=（n-1）2 ⁿ⁺¹+2