Question

（本题满分12分）设{a_n}是等差数列，{b_n}是各项都为正数的等比数列，且a₁=b₁=1，a₃+b₅=21，a₅+b₃=13.

(1)求{a_n}，{b_n}的通项公式；          (2)求数列的前n项和S_n.

 

Answer 1

【答案】

 (1) a_n=2n－1 ，b_n=2^n-1.(2) 。

【解析】本试题主要是考查了数列的通项公式的的求解和数列求和的综合运用。

（1）设等差数列的公差为d  等比数列的公比为q，

由题意得 1+2d+q⁴=21，     ①    1+4d+q²=13，        ②

①×2－②得，2q⁴－q²－28=0，解得q²=4  又由题意，知{b_n}各项为正，

所以q=2，代入②得d=2， 所以a_n=2n－1 ，b_n=2^n-1.

（2）由(1)可知，，利用错位相减法得到求和。

(1)设等差数列的公差为d  等比数列的公比为q，

由题意得 1+2d+q⁴=21，     ①    1+4d+q²=13，        ②

①×2－②得，2q⁴－q²－28=0，解得q²=4  又由题意，知{b_n}各项为正，

所以q=2，代入②得d=2， 所以a_n=2n－1 ，b_n=2^n-1.

(2)由(1)可知，，

又，             (1)

，     (2)

(2)－(1)得  

，∴