Question

已知函数f（x）=（x+1）lnx．
（1）求f（x）在x=1处的切线方程；
（2）设g(x)=

1

a(1-x)

f(x)，对任意x∈（0，1），g（x）＜-2，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）函数f（x）=（x+1）lnx定义域为（0，+∞），由f′(x)=lnx+

1+x

x

，知f′（1）=2，且切点为（1，0，由此能求出f（x）在x=1处的切线方程．
（2）由已知a≠0，因为x∈（0，1），所以

1+x

1-x

•lnx＜0．当a＜0时，g（x）＞0，不合题意．当a＞0时，x∈（0，1），由g（x）＜-2，得lnx+

2a(1-x)

1+x

＜0．由此能求出实数a的取值范围．

解答：（本小题满分12分）
解：（1）函数f（x）=（x+1）lnx定义域为（0，+∞），…（1分）
∵f′(x)=lnx+

1+x

x

，
∴f′（1）=2，且切点为（1，0）…（4分）
故f（x）在x=1处的切线方程y=2x-2．…-（6分）
（2）由已知a≠0，因为x∈（0，1），
所以

1+x

1-x

•lnx＜0．
①当a＜0时，g（x）＞0，不合题意．…（8分）
②当a＞0时，x∈（0，1），
由g（x）＜-2，得lnx+

2a(1-x)

1+x

＜0．
设h(x)=lnx+

2a(1-x)

1+x

，
则x∈（0，1），h（x）＜0.h′(x)=

x2+(2-4a)x+1

x(1+x)2

．
设m（x）=x²+（2-4a）x+1，
方程m（x）=0的判别式△=16a（a-1）．
若a∈（0，1]，△≤0，m（x）≥0，h′（x）≥0，
h（x）在（0，1）上是增函数，又h（1）=0，
所以x∈（0，1），h（x）＜0．…（10分）
若a∈（1，+∞），△＞0，m（0）=1＞0，m（1）=4（1-a）＜0，
所以存在x₀∈（0，1），使得m（x₀）=0，
对任意x∈（x₀，1），m（x）＜0，h′（x）＜0，h（x）在（x₀，1）上是减函数，
又h（1）=0，所以x∈（x₀，1），h（x）＞0．
综上，实数a的取值范围是（0，1]．…（12分）

点评：本题考查切线方程的求法和求实数的取值范围，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．