Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

1

2

，椭圆上的点到焦点的最小距离为1．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l与椭圆C交于A，B两点，且OA⊥OB（O为坐标原点），OH⊥AB于H点．试求点H的轨迹方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要求椭圆方程，只需求出a，b的值，由椭圆的离心率为

1

2

，知，

c

a

=

1

2

，由椭圆上的点到焦点的最小距离为1，可知，a-c=1，再根据a²=b²+c²，就可求出a，b得到椭圆C的方程．
（Ⅱ）设出A，B点的坐标，直线l方程，再令直线l方程与椭圆方程联立，求出x₁+x₂，x₁x₂，根据且OA⊥OB（O为坐标原点），OH⊥AB于H点．用x₁，x₂表示H点坐标，把参数消掉，即可得到点H的轨迹方程．

解答：解：（Ⅰ）由题意知：e=

c

a

=

1

2

，a-c=1，a²=b²+c²，解得a=2，b²=3．
故椭圆的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
（1）若l⊥x轴，可设H（x₀，0），因OA⊥OB，则A（x₀，±x₀）．由

x02

4

+

x02

3

=1，得

x

2 0

=

12

7

，即H(±

12 7

，0)．
若l⊥y轴，可设H（0，y₀），同理可得H(0，±

12 7

)．
（2）当直线l的斜率存在且不为0时，设l：y=kx+m，
由

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

，消去y得：（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0．
则x1+x2=-

8km

3+4k2

，x1x2=

4m2-12

3+4k2

．y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=

3m2-12k2

3+4k2

．由OA⊥OB，知x₁x₂+y₁y₂=0．故 

4m2-12

3+4k2

+

3m2-12k2

3+4k2

=0，即7m²=12（k²+1）（记为①）．
由OH⊥AB，可知直线OH的方程为y=-

1

k

x．联立方程组

y=kx+m y=- 1 k x

，得 

k=- x y m= x2 y +y

（记为②）．将②代入①，化简得x2+y2=

12

7

．综合（1）、（2），可知点H的轨迹方程为x2+y2=

12

7

．

点评：本题考查了椭圆方程的求法，以及消参法求轨迹方程，做题时应认真分析．