Question

已知幂函数f（x）=x^m-3（m∈N₊）的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上是减函数，求满足(a+1)-

m

99

＜(3-2a)-

m

99

的a的取值范围．

Answer 1

分析：根据幂函数在（0，+∞）上是减函数，可以确定m-3＜0，再根据的图象关于y轴对称，即可得到f（x）为偶函数，从而确定m的值，构造函数g（x）=x-

1

99

，利用幂函数的性质，即可列出关于a的不等式，求解不等式可以求得a的取值范围．

解答：解：∵函数f（x）=x^m-3在（0，+∞）上递减，
∴m-3＜0，解得m＜3，
∵m∈N₊，
∴m=1，2，
又∵函数的图象关于y轴对称，
∴f（x）为偶函数，
∴m-3是偶数，
又2-3=-1为奇数，1-3=-2为偶数，
∴m=1，
令g（x）=x-

1

99

，
∴g（x）=x-

1

99

在（-∞，0）和（0，+∞）上均为减函数，
∵(a+1)-

m

99

＜(3-2a)-

m

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，
∴a+1＞3-2a＞0，或0＞a+1＞3-2a，或a+1＜0＜3-2a，
解得a＜-1，或

2

3

＜a＜

3

2

，
故a的取值范围为{a|a＜-1或

2

3

＜a＜

3

2

}．

点评：本题考查了幂函数的概念、解析式、定义域、值域，幂函数的单调性、奇偶性及其应用．综合考查了幂函数的性质，对于幂函数的问题，关键是正确的画出幂函数的图象，根据幂函数在第一象限的图形，结合幂函数的定义域、奇偶性，即可画出幂函数的图象，应用图象研究幂函数的性质．属于基础题．