椭圆Γ:$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1的左右焦点分别为F1.F2.上顶点为A.已知椭圆Γ过点P($\frac{4}{3}$.$\frac{b}{3}$).且$\overrightarrow{{F 2}A}$•$\overrightarrow{{F 2}P}$=0．(1)求椭圆Γ的方程,(2)若椭圆上两点C.D关于点M对称.求|CD|� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

14．椭圆Γ：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁、F₂，上顶点为A，已知椭圆Γ过点P（$\frac{4}{3}$，$\frac{b}{3}$），且$\overrightarrow{{F_2}A}$•$\overrightarrow{{F_2}P}$=0．
（1）求椭圆Γ的方程；
（2）若椭圆上两点C、D关于点M（1，$\frac{1}{2}$）对称，求|CD|．

分析（1）代入点P，求得a²=2，运用向量的数量积的坐标表示，结合a，b，c的关系，解方程即可得到c，即有椭圆方程；
（2）方法一、运用点差法，设出C，D的坐标，代入椭圆方程，作差再由中点坐标公式，求得CD的斜率，得到直线CD的方程，联立椭圆方程，消去y，运用韦达定理和弦长公式，计算即可得到；
方法二、运用对称的方法，设出C，D的坐标，再作差，可得直线CD的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，计算即可得到．

解答解：（1）由于椭圆Γ过点$P（\frac{4}{3}，\frac{b}{3}）$，
即有$\frac{16}{{9{a^2}}}+\frac{1}{9}=1$，解得a²=2，
又$\overrightarrow{{F_2}A}$•$\overrightarrow{{F_2}P}$=0，
则以AP为直径的圆恰好过右焦点F₂，
又$P（\frac{4}{3}，\frac{b}{3}），{F_2}（c，0），A（0，b）$，
得$\overrightarrow{{F_2}A}=（-c，b）$，$\overrightarrow{{F_2}P}=（\frac{4}{3}-c，\frac{b}{3}）$，
即有$-c（\frac{4}{3}-c）+\frac{b^2}{3}=0$，
而b²=a²-c²=2-c²，所以c²-2c+1=0得c=1，
故椭圆Γ的方程是$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．
（2）法一：设点C、D的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），
则$x_1^2+2y_1^2=2，x_2^2+2y_2^2=2$，且x₁+x₂=2，y₁+y₂=1，
由$x_1^2+2y_1^2=2，x_2^2+2y_2^2=2$，
得：（x₁+x₂）（x₁-x₂）+2（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
即$2（{x_1}-{x_2}）+2（{y_1}-{y_2}）=0⇒\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=-1$，
所以CD所在直线的方程为$y=-x+\frac{3}{2}$，
将$y=-x+\frac{3}{2}$，代入x²+2y²=2得$3{x^2}-6x+\frac{5}{2}=0$，
即有x₁+x₂=2，x₁x₂=$\frac{5}{6}$．
$|CD|=\sqrt{2}|{x_1}-{x_2}|=\sqrt{2}•\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}=\sqrt{2}•\sqrt{4-\frac{10}{3}}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．
法二：设点C、D的坐标分别为（x₁，y₁）、（2-x₁，1-y₁），
则$x_1^2+2y_1^2=2，{（2-{x_1}）^2}+2{（1-{y_1}）^2}=2$，
两等式相减得${y_1}=-{x_1}+\frac{3}{2}$，
将$y=-x+\frac{3}{2}$，代入x²+2y²=2得$3{x^2}-6x+\frac{5}{2}=0$，
则有$|CD|=\sqrt{2}|{x_1}-{x_2}|=\sqrt{2}•\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}=\sqrt{2}•\sqrt{4-\frac{10}{3}}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．