Question

求下列函数的值域:

（1）y=3+2cos(2x-);（2）y=cos²x+sinx;

（3）y=sinxcosx+sinx+cosx;（4）;

（5）y=sinx+cosx.

Answer 1

思路分析:考查正,余弦函数的值域在解题中的应用及各类与正余弦函数有关的函数的值域的求法.

解：（1）由于-1≤cos(2x-)≤1，所以1≤y≤5，即函数的值域为[1，5].

（2）原函数可化为y=-sin²x+sinx+1=-(sinx-)²+.

由于-1≤sinx≤1，

所以当sinx=时,y有最大值为;当sinx=-1时,y有最小值为-2.

所以函数的值域为［-2, ］.

（3）设t=sinx+cosx,则t∈［,］,而sinxcosx=.

所以原函数可以化为

，

所以当t=-1时,y有最小值为-1;当t=时,y有最大值为.

所以函数的值域为［-1,］.

（4）解法一：,

由于-1≤cosx≤1，所以1≤2-cosx≤3，则.

所以≤y≤3，即函数的值域为［,3］.

解法二：由可得.由于-1≤cosx≤1，则有

||≤1.解之,得≤y≤3，即函数的值域为［,3］.

（5）原函数可化为y=2sin(x+)，所以函数的值域为[-2，2].

方法归纳 （1）型如y=asin²x+Bcosx+c或y=ACos²x+bsinx+c的函数求值域时，可将函数化为二次函数利用配方法求之，但应注意函数的定义域.

（2）型如y=asinxcosx+b(sinx±cosx)+c的函数在求值域时可利用换元法，也应注意函数的定义域.

（3）型如y=asinx+BCosx求值域时可借助于两角和与差的正,余弦公式，化为一个角的正弦或余弦再求值域.

深化升华 函数的值域也是函数性质的一种，只要是研究函数的性质，都首先考虑它的定义域.