Question

设函数f(x)=lnx，g(x)=ax+

b

x

，它们的图象在x轴上的公共点处有公切线，则当x＞1时，f（x）与g（x）的大小关系是（　　）

A．f（x）＞g（x）

B．f（x）＜g（x）

C．f（x）=g（x）

D．f（x）＞g（x）与g（x）的大小不确定

Answer 1

分析：f（x）与x轴的交点（1，0）在g（x）上，所以a+b=0，在此点有公切线，即此点导数相等，可求出a与b的值，令h（x）=f（x）-g（x），然后利用导数研究该函数在（1，+∞）上的单调性，从而得到正确选项．

解答：解：f（x）与x轴的交点′（1，0）在g（x）上，
所以a+b=0，在此点有公切线，即此点导数相等，
f′（x）=

1

x

，g′（x）=a-

b

x2

，
以上两式在x=1时相等，即1=a-b，
又因为a+b=0，
所以a=

1

2

，b=-

1

2

，
即g（x）=

x

2

-

1

2x

，f（x）=lnx，
定义域{x|x＞0}，
令h（x）=f（x）-g（x）=lnx-

x

2

+

1

2x

，
对x求导，得h′（x）=

1

x

-

1

2

-

1

2x2

=

2x-x2-1

2x2

=-

(x-1)2

2x2

∵x＞1
∴h′（x）≤0
∴h（x）在（1，+∞）单调递减，即h（x）＜0
∴f（x）＜g（x）
故选B．

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及函数的基本性质，同时考查分析问题的能力，属于中档题．