Question

已知过点A(-4，0)的动直线l与抛物线C：x²=2py(p＞0)相交于B，C两点，当l的斜率是时，，
(1)求抛物线C的方程；
(2)设BC的中垂线在y轴上的截距为b，求实数b的取值范围．

Answer 1

解：(1)设B(x₁，y₁)，C(x₂，y₂)，由已知，
所以l的方程为，即x=2y-4，
由得，
所以，
又因为，所以y₂=4y₁， ③
由①②③及p＞0得，
故抛物线方程为。
(2)设l：y=k(x+4)，BC的中点坐标为(x₀，y₀)，
由得，
所以，
所以BC的中垂线方程为，
所以BC的中垂线在y轴上的截距为，
对于方程④，由得k＞0或k＜-4，
所以，
所以b的取值范围为b＞2。